地理空间的数学定义及定位型地图符号的制约因素分析

　　的点集，称为地球外空间。

　　地球外空间即是地球椭球面到同温层底部的空间。由于椭球面与自然面之间的差异，同样存在虽在地表之下却因处于椭球面外侧而属地球外空间的点集。

　　定义5 　地理空间 地球内空间EntK、地球椭球面S和地球外空间EntK的并集，称为地理空间，即

　　K=EntK∪S∪ExtK|EntK，S，ExtK∈DL　　　　　 （5）

　　由于地理空间的上下限H1和-H2的选择与地球表层概念相适应，因此，地理空间的定义也就是地球表层的数学表述。

　　2 制图区域和制图物体

　　2.1 同胚

　　定义6 　同胚 设X和Y是两个随意的拓扑空间，并设f：X→Y。如果f是连续的双一一函数，并且它的反函数f -1也是连续的，那么，f就叫做空间X到空间Y上的同胚或拓扑映射或拓扑变换；此时空间X与空间Y叫做同胚的，记作X≈Y。

　　如果f是空间X到空间Y上的一个同胚，AX，并且B=f（A），则称点集A与点集B是同胚的，记作A≈B；此时又称点集B是点集A在同胚f之下的同胚象或拓扑象。如果f是空间X到空间Y上的一个同胚，g是空间Y到空间Z上的一个同胚，则复合函数gf是X到Z上的一个同胚。空间的同胚关系≈是一个等价关系[5]。地貌等高线图形，也就是其上覆地貌的同胚象[6]。

　　2.2 覆盖空间

　　定义7　 覆盖空间 设E和B是连通且局部道路连通的拓扑空间，f∶Ｅ→Ｂ是连续满射，如果对于每个c∈Ｂ，存在c的道路连通开域U，使得ｆ把ｆ -1（U）的每个通路连通分支同胚地映射成U，则称（E，ｆ）是Ｂ的覆盖空间，这种U称为容许邻域，Ｂ称为底空间，ｆ称为覆盖投影[10，11]。

　　2.3 制图区域和制图物体

　　2.3.1 椭球面上点c与过c点的椭球面法线ｈC的双一一函数关系

　　设c为椭球面Ｓ上的任意点，c∈S，过c点能且仅能作一条法线ｈC指向地理空间Ｋ。由于大地高ｈ以椭球面为起算面，故地球外空间ExtK=｛ｈC|0＜ｈC≤Ｈ1｝，地球内空间IntK=｛ｈC|-H2≤ｈC＜0｝。显然，地球空间的椭球面法线hC与椭球面上的投影点c是双一一函数。现把覆盖空间定义应用于地球外空间ExtK与地球椭球面S：令覆盖定义中的E=ExtK，B=S，f是连续满射，c∈S，|f -1（c）=hC∈ExtK，这里S是底空间，（f， ExtK）是S的覆盖空间，f为覆盖投影，c是hC在f下的同胚象或拓扑象。同理可说明地球内空间与地球椭球面的关系。